Sai số cắt cụt cục bộ của phương pháp Euler là sai số trong một bước duy nhất. Đó là sự khác biệt giữa lời giải số sau một bước, y 1 {\displaystyle y_{1}} , và lời giải chính xác tại thời điểm t 1 = t 0 + h {\displaystyle t_{1}=t_{0}+h} . Lời giải số được cho bởi

y 1 = y 0 + h f ( t 0 , y 0 ) . {\displaystyle y_{1}=y_{0}+hf(t_{0},y_{0}).\quad }

Đối với lời giải chính xác, chúng ta sử dụng mở rộng Taylor được đề cập trong phần Nguồn gốc phía trên:

y ( t 0 + h ) = y ( t 0 ) + h y ′ ( t 0 ) + 1 2 h 2 y ″ ( t 0 ) + O ( h 3 ) . {\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).}

Sai số cắt cụt cục bộ (LTE) của phương pháp Euler được cho bởi sự khác biệt giữa các phương trình này:

L T E = y ( t 0 + h ) − y 1 = 1 2 h 2 y ″ ( t 0 ) + O ( h 3 ) . {\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).}

Kết quả này là hợp lý nếu y {\displaystyle y} có một đạo hàm bậc ba bị chặn (bounded).[9]

Điều này cho thấy rằng đối với h {\displaystyle h} nhỏ, các sai số cắt cụt cục bộ xấp xỉ tỷ lệ thuận với h 2 {\displaystyle h^{2}} do đó làm cho phương pháp Euler kém chính xác (đối với h {\displaystyle h} nhỏ) hơn so với các phương pháp bậc cao khác như các phương pháp Runge-Kutta và các phương pháp đa bước tuyến tính, mà sai số cắt cụt cục bộ tỷ lệ thuận với một số mũ cao hơn của kích thước bước.

Một cách xây dựng công thức hơi khác cho sai số cắt cụt cục bộ là sử dụng dạng thức Lagrange cho số hạng còn lại trong định lý Taylor. Nếu y {\displaystyle y} có đạo hàm bậc hai liên tục, thì tồn tại một ξ ∈ [ t 0 , t 0 + h ] {\displaystyle \xi \in [t_{0},t_{0}+h]} mà

L T E = y ( t 0 + h ) − y 1 = 1 2 h 2 y ″ ( ξ ) . {\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\frac {1}{2}}h^{2}y''(\xi ).} [10]

Trong các biểu thức sai số trên, đạo hàm bậc hai của lời giải chính xác chưa biết y {\displaystyle y} có thể được thay thế bằng một biểu thức ở phía bên phải của phương trình vi phân. Thật vậy, từ phương trình y ′ = f ( t , y ) {\displaystyle y'=f(t,y)} ta có

y ″ ( t 0 ) = ∂ f ∂ t ( t 0 , y ( t 0 ) ) + ∂ f ∂ y ( t 0 , y ( t 0 ) ) f ( t 0 , y ( t 0 ) ) . {\displaystyle y''(t_{0})={\partial f \over \partial t}(t_{0},y(t_{0}))+{\partial f \over \partial y}(t_{0},y(t_{0}))\,f(t_{0},y(t_{0})).} [11]